Hướng dẫn, cách giải phương trình nghiệm nguyên qua một số ví dụ. Phương pháp: chẵn lẻ, phân tích, cực hạn, loại trừ, chia hết, lùi vô hạn,bất đẳng thức.

Tùy từng bài tập mà các em áp dụng một hay nhiều phương pháp để giải bài toán phương trình nghiệm nguyên.

y2 – 2x2 = 1

Hướng dẫn:

Ta có y2 – 2x2 = 1 ⇒ y2 = 2x2 +1 ⇒ y là số lẻ

Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + 1

⇔ x2 = 2 k2 + 2k ⇒ x chẵn , mà x nguyên tố ⇒ x = 2, y = 3

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

(2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2  + x) = 105

 Hướng dẫn:

Ta có: (2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2  + x) = 105

Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn

2|x| + y + x2  + x = 2|x| + y + x(x+ 1) lẻ

có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2|x|  lẻ ⇒ 2|x| = 1 ⇒ x = 0

Thay x = 0 vào phương trình ta được

(5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0

⇒ y = 4 hoặc y = $ \displaystyle -\frac{26}{5}$ ( loại)

Thử lại ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình

II.

Xem thêm: 2 Cách Làm Món Bò Cuốn Nấm Kim Châm Hấp Dẫn Như Nhà Hàng 5 Sao

Phương pháp 2 : Phương pháp phân tích

Thực chất là biến đổi phương trình về dạng:

g1 (x1, x2,…., xn­) h (x1, x2,…., xn­) = a

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2

Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 ⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1

⇔ (x+1)4 – y2 = 1 ⇔ <(x+1)2 –y> <(x+1)2+y>= 1

⇔ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}(x+1)_{{}}^{2}-y=1\\(x+1)_{{}}^{2}+y=1\end{array} \right.$ hoặc $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}(x+1)_{{}}^{2}-y=-1\\(x+1)_{{}}^{2}+y=-1\end{array} \right.$

$ \displaystyle \left< \begin{array}{l}1+y=1-y\\-1+y=-1-y\end{array} \right.$

⇒ y = 0 ⇒ (x+1)2 = 1 ⇔ x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2

Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( – 2, 0 )

III. Phương pháp 3 : Phương pháp cực hạn

Sử dụng đối với 1 số bài toán vai trò của các ẩn bình đẳng như nhau:

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

Hướng dẫn:

Ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1

Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

⇒ (x- n) (x+ n) = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2

Vậy phương trình có nghiệm nguyên

(x, y) = (2; -5); (-2, 3)

Ví dụ 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0

Hướng dẫn:

Ta có x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x. Giả sử phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2

Ta có: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=y+5\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=5y+2\end{array} \right.$

⇒ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}5{{x}_{1}}+5{{x}_{2}}=5y+25\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=5y+2\end{array} \right.$

⇒ 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23

⇔ (x1 -5) (x2 -5) = 2 Mà 2 = 1.2 = (-1)(-2)

⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2

thay vào phương trình ta tìm được các cặp số

(x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của phương trình

X. Phương pháp 10 : Dùng bất đẳng thức

Ví dụ 16: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 –xy + y2 = 3

Hướng dẫn:

Ta có x2 –xy + y2 = 3 ⇔ (x- $ \displaystyle \frac{y}{2}$)2 = 3 – $ \displaystyle \frac{3y_{{}}^{2}}{4}$

Ta thấy (x- $ \displaystyle \frac{y}{2}$)2 = 3 – $ \displaystyle \frac{3y_{{}}^{2}}{4}$ ≥ 0