Giải phương trình bậc 2 có chứa tham số m là dạng toán biện luận đòi hỏi kỹ năng bao quát tổng hợp, vì vậy mà dạng này gây khá nhiều bối rối cho rất nhiều em.

Bạn đang xem: Tìm m để phương trình có nghiệm

Vậy làm sao để giải phương trình có chứa tham số m (hay tìm m để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện nào đó) một cách đầy đủ và chính xác. Chúng ta cùng ôn lại một số nội dung lý thuyết và vận dụng giải các bài toán minh họa phương trình bậc 2 có chứa tham số để rèn kỹ năng giải dạng toán này.

° Cách giải phương trình bậc 2 có chứa tham số m

¤ Nếu a = 0 thì tìm nghiệm của phương trình bậc nhất

¤ Nếu a ≠ 0 thì thực hiện các bước sau:

- Tính biệt số Δ

- Xét các trường hợp của Δ (nếu Δ có chứa tham số)

- Tìm nghiệm của phương trình theo tham số

* Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: 3x2 - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0 (*)

° Lời giải:

- Bài toán có hệ số b chẵn nên thay vì tính Δ ta tính Δ". Ta có:

Δ"= <-(m + 1)>2 – 3.(3m – 5)

= (m + 1)2 – 9m +15 > 0

= m2 + 2m + 1 – 9m + 15

= m2 – 7m + 16 > 0

= (m – 7/2)2 + 15/4 > 0

- Như vậy, Δ" > 0, ∀m ∈ R nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt:

* Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: mx2 - 2(m - 2)x + m - 3 = 0 (*)

° Lời giải:

• TH1: Nếu m = 0 thay vào (*) ta được:

 

• TH2: m ≠ 0 ta tính biệt số Δ" như sau:

 

- Nếu 

: Phương trình (*) có nghiệm kép: 

- Nếu 

¤ Kết luận:

 m > 4: Phương trình (*) vô nghiệm

 m = 0: Phương trình (*) có nghiệm đơn x = 3/4.

 m = 4: Phương trình (*) có nghiệm kép x = 1/2.

 m 2 + bx + c = 0) có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó.

* Với 

 thì PT bậc 2:

- Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ Δ ≥ 0

- Vô nghiệm ⇔ Δ 0

- Có 2 nghiệm cùng dấu

- Có 2 nghiệm trái dấu 

- Có 2 nghiệm âm (x1, x2

- Có 2 nghiệm phân biệt đối nhau 

- Có 2 nghiệm phân biệt là nghịch đảo của nhau 

- Có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn 

 

 Bước 3: Kết hợp (1) và giả thiết giải hệ: 

 Bước 4: Thay x1, x2 vào (2) ta tìm được giá trị tham số.

* Ví dụ (Bài 8 trang 63 SGK Đại số 10): Cho phương trình 3x2 - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

° Lời giải:

- Ta có : 3x2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (1)

- PT (1) có hai nghiệm phân biệt khi Δ’ > 0

 ⇔ <-(m + 1)>2 – 3.(3m – 5) > 0

 ⇔ (m + 1)2 – 9m +15 > 0

 ⇔ m2 + 2m + 1 – 9m + 15 > 0

 ⇔ m2 – 7m + 16 > 0

 ⇔ (m – 7/2)2 + 15/4 > 0 (∀m ∈ R).

⇒ Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Gọi hai nghiệm đó là x1; x2 khi đó theo định lý Vi–et ta có:

 (1); và  (2)

- Theo bài toán yêu cầu PT có một nghiệm gấp ba nghiệm kia, giả sử x2 = 3.x1, khi đó thay vào (1) ta có: 

Thay x1, x2 vào (2) ta được: 

 

 

 

* TH1: Với m = 3, PT(1) trở thành 3x2 – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện.

Xem thêm: The $17,000 Ball Pit

* TH2: Với m = 7, PT(1) trở thành 3x2 – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện.

⇒ Kết luận: m = 3 thì pt có hai nghiệm là 2/3 và 2; m = 7 thì pt có hai nghiệm 4/3 và 4.

• Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện |x1 - x2| = k (với k ∈ R). Các bước làm như sau:

 Bước 1: Bình phương 2 vế phương trình: (x1 - x2)2 = k2 ⇔ (x1 + x2)2 - 4x1x2 = k2

 Bước 2: Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 và x1.x2 thay vào biểu thức trên được kết quả.

* Ví dụ: cho phương trình x2 - (2m - 1)x + m2 - 1 = 0 (m là tham số).

a) Tìm điều kiện m để pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt

b) Xác định giá trị của m để hai nghiệm của pt đã cho thỏa (x1 - x2)2 = x1 - 3x2.

° Lời giải:

a) Ta có: 

- Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi chỉ khi:

 

 

 ⇔ (x1 + x2)2 - 4x1x2 = x1 - 3x2 

 ⇔ (2m - 1)2 - 4(m2 - 1) = x1 - 3x2 

 ⇔ x1 - 3x2 = 5 - 4m (**)

- Từ pt thứ nhất trong hệ (*) với (**) ta có hệ pt:

 

- Mặt khác, lại có: x1x2 = m2 - 1 

 

 

 

- Đối chiếu với điều kiện m1 - x2)2 = x1 - 3x2.

⇒ Kết luận: Với m = 1 hoặc m = -1 hì pt đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn 

• Hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m;

 Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

 Bước 2: Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 và x1.x2 

 Bước 3: Biến đổi kết quả để không phụ thuộc tham số (không còn tham số)

* Ví dụ: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 (m là tham số)

a) CMR phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của pt đã cho mà không phụ thuộc vào m.