Arg là gì

Một vài ba tính chất quan trọng của môđun cùng argument.

Bạn đang xem: Arg là gì

Nhắc lại rằng số phức $ z = a + bi $ được màn trình diễn vị điểm$Mleft( a;b ight)$ vào khía cạnh phẳng phức $Oxy$. Mô-đun tốt còn gọi là độ to của $z$ là đại lượng$sqrt a^2 + b^2 $, với đó cũng chính là độ dài của vector$overrightarrow OM $. Góc phù hợp bởi$overrightarrow OM $ với chiều dương của trục $Ox$ được Call là argument của $z$, ký kết hiệu $arg left( z ight)$.$left( a ight)$ Vì số phức $ z = a + bi $ với liên hợp của nó là$ar z = a - bi$ được màn biểu diễn bởi vì nhì điểm $Mleft( a;b ight)$ và$M'left( a;-b ight)$đối xứng nhau qua trục thực $Ox$ buộc phải ta có $$left| z ight| = left| ar z ight|;;;;;arg left( ar z ight) = - arg left( z ight).$$
*
lấy ví dụ 1. Số phức $z = 1 + sqrt 3 i$ cùng phối hợp của chính nó là $ar z = 1 - sqrt 3 i$ lần lượt được trình diễn bởi $M$ và điểm $M'$. Ta cũng có thể có $$egingathered left| z ight| = sqrt 1^2 + sqrt 3 ^2 = 2 = sqrt 1^2 + left( - sqrt 3 ight)^2 = left| ar z ight|. \ arg left( z ight) = altrộn = 60^o;;;; arg left( ar z ight) = - altrộn = - 60^o. \ endgathered $$ Dạng lượng giác là $$egingathered z = 1 + sqrt 3 i = 2left( frac12 + fracsqrt 3 2i ight) = 2left( cos 60^o + isin 60^o ight). hfill \ ar z = 1 - sqrt 3 i = 2left( frac12 - fracsqrt 3 2i ight) = 2left( cos 60^o - isin 60^o ight) = 2left< cos left( - 60^o ight) + isin left( - 60^o ight) ight>. hfill \ endgathered $$$left( b ight)$ Với hai số phức $z_1 = r_1left( cos altrộn _1 + isin alpha _1 ight)$ với $z_2 = r_2left( cos alpha _2 + isin alpha _2 ight)$ ta có $$left| z_1 cdot z_2 ight| = left| z_1 ight| cdot left| z_2 ight|;;;;;;;;;arg left( z_1 cdot z_2 ight) = arg left( z_1 ight) + arg left( z_2 ight).$$lấy ví dụ như 2. Xét nhị số phức$z_1 = sqrt 3 - i$và$z_2 = 1 + sqrt 3 i$.Ta kiểm bệnh tính chất$left( b ight)$ mang đến hai số phức này. Dạng lượng giác của hai số phức nàgiống như sau$$eqalign & z_1 = sqrt 3 - i = 2left( fracsqrt 3 2 - frac12i ight) = 2left< cos left( - 30^o ight) + isin left( - 30^o ight) ight> cr và z_2 = 1 + sqrt 3 i = 2left( frac12 + fracsqrt 3 2i ight) = 2left( cos 60^o + isin 60^o ight). cr $$ do vậy $left| z_1 ight| = left| z_2 ight| = 2$ với $arg left( z_1 ight) = - 30^o,arg left( z_2 ight) = 60^o.$Với xem xét $ i^2 = -1$ ta có$$eqalign và z_1 cdot z_2 = 2left< cos left( - 30^o ight) + isin left( - 30^o ight) ight> cdot 2left( cos 60^o + isin 60^o ight) cr & ;;;;;;;;;;= 4left left< cos 60^ocos left( - 30^o ight) - sin left( - 30^o ight)sin 60^o ight> + left< sin 60^ocos left( - 30^o ight) + cos 60^osin left( - 30^o ight) ight>i ight cr & ;;;;;;;;;;= 4left< cos left( 60^o - 30^o ight) + isin left( 60^o - 30^o ight) ight> cr & ;;;;;;;;;; = 4left( cos 30^0 + isin 30^o ight). cr $$ Rõ ràng$left| z_1 cdot z_2 ight| = 4 = left| z_1 ight| cdot left| z_2 ight|;;;;arg left( z_1 cdot z_2 ight) = 30^o = arg left( z_1 ight) + arg left( z_2 ight).$Hoặc một biện pháp không giống là thao tác làm việc trực tiếp bên trên dạng đại số của $z_1$ và $z_2$ nlỗi sau$$z_1 cdot z_2 = left( sqrt 3 - i ight)left( 1 + sqrt 3 i ight) = 2sqrt 3 + 2i = 4left( fracsqrt 3 2 + frac12i ight) = 4left( cos 30^o + isin 30^o ight).$$Một hệ trái đặc biệt quan trọng của tính chất$left( b ight)$ là$$left| z^n ight| = left;;;;;arg left( z^n ight) = narg z.$$Ví dụ 3.

Xem thêm: Cách Chiên Chả Cá Ngon Đúng Điệu, Cách Làm Chả Cá Chiên Thơm Dai Như Ngoài Tiệm

Xét số phức $z = sqrt 3 + i$. Dạng lượng giác của chính nó là$$z = sqrt 3 + i = 2left( fracsqrt 3 2 + frac12i ight) = 2left( cos 30^o + isin 30^o ight).$$ Ta có$$eqalign & z^2 = 2^2left< cos left( 2 cdot 30^o ight) + isin left( 2 cdot 30^o ight) ight> = 4left( cos 60^o + isin 60^o ight) = 2 + 2sqrt 3 i; cr & z^3 = 2^3left< cos left( 3 cdot 30^o ight) + isin left( 3 cdot 30^o ight) ight> = 8left( cos 90^o + isin 90^o ight) = 8i; cr và z^4 = 2^4left< cos left( 4 cdot 30^o ight) + isin left( 4 cdot 30^o ight) ight> = 16left( cos 120^o + isin 120^o ight) = -8 + 8sqrt 3 i. cr $$Hệ quả trên bao gồm vận dụng khỏe mạnh vào cthị xã desgin cách làm kiếm tìm căn uống của số phức. Học sinch coi sự việc này ở chỗ này.Công thức Euler mang lại số phức.

Xem thêm: Cách Xào Măng Tây Thịt Bò Ngon Ai Cũng Khen, Cách Làm Măng Tây Xào Thịt Bò Ngon Ai Cũng Khen

Người ta chứng minh được rằng với tất cả số thực $ varphi $ ta có$$e^varphi i = cos varphi + isin varphi, $$ trong đó$e = llặng left( 1 + frac1n ight)^n approx 2,71828...$ có cách gọi khác là hằng số Euler. Từ công thức này, cần sử dụng quy tắc tính luỹ thừa ta có$$left( cos varphi + isin varphi ight)^n = left( e^varphi i ight)^n = e^nvarphi i = cos nvarphi + isin nvarphi .$$ Và công thức$$left( cos varphi + isin varphi ight)^n = cos nvarphi + isin nvarphi $$ được điện thoại tư vấn là công thứcMoivre.Ví dụ 4. Số phức$z_2 = 1 + sqrt 3 i$ được thay đổi về dạng Euler nhỏng sau$$z = sqrt 3 + i = 2left( fracsqrt 3 2 + frac12i ight) = 2left( cos 30^o + isin 30^o ight) = 2 cdot e^i cdot 30^o.$$ Từ trên đây, ta có$$eqalign và z^2 = left( 2e^i cdot 30 ight)^2 = 4e^i cdot 60 = 4left( cos 60^o + isin 60^o ight) = 2 + 2sqrt 3 i; cr & z^3 = left( 2e^i cdot 30 ight)^3 = 8e^i cdot 90 = 8left( cos 90^o + isin 90^o ight) = 8i; cr và z^4 = left( 2e^i cdot 30 ight)^4 = 16e^i cdot 120 = 16left( cos 120^o + isin 120^o ight) = 8 + 8sqrt 3 i. cr $$

Chuyên mục: ĐỊNH NGHĨA